Best Meeting Point

给一个2d的grid, 上边有1也有0. 让你找一个点使得所有点到这点的Manhattan Distance 的合为最小.

这题考点很多:

首先,Manhattan Distance 的合为 sum(distance(p1, p2)) = sum(|p2.x - p1.x| + |p2.y - p1.y|)= sum(|p2.x - p1.x|)+sum(|p2.y - p1.y|). 也就是说, 可以分别计算x和y的合, 然后加起来.

其次, 我们需要把2d的grid变成1d, 这里的窍门是, 我们可以证明, 所求的点, 就在其中某点的x或者y的坐标轴上. 所以, 而这点, 必然是1d下的median. http://math.stackexchange.com/questions/113270/the-median-minimizes-the-sum-of-absolute-deviations

所以, 我们需要count一下x轴上有多少个1的投影, 和y轴上有多少个1的投影. 就可以找到这个median. 这里我们不需要sorting, 因为投影本身就是已排序的.

最后, 我们得到一个1d的array, 我们需要计算以上公式,即各点到median的值的合, 这里需要用two pointers, 因为array本身已经是排序过后的了, 所以我们只需要求两头的元素的差值的合, 就是他们到median的合.

Image result for median

6是median,那么 (6-2)+(6-4) + (6-5) + (7-6) + (8-6) + (9-6) = 4 + 2+ 1+ 1+ 2+ 3 = 13 = (9-2) + (8-4) + (7-5)